Patrones infinitos

El trabajo de Cristóbal Vila

Conectando geometría, naturaleza y arquitectura

Este es un nuevo proyecto personal que busca establecer conexiones entre varios campos que me interesan profundamente: la geometría y cómo aparece vinculada a la naturaleza, por un lado, y al arte y la arquitectura, por el otro; elevando las relaciones entre todos ellos. De alguna manera significaría la fusión de los intereses de dos de mis trabajos anteriores: Nature by Numbers y Ars Qubica.

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Y en el aspecto más técnico: el siguiente video muestra un montón de capturas de pantalla con el proceso de creación de esta animación, creada junto con Modo y Cinema4D.

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Los conceptos detrás de patrones infinitos

Esta sección pretende ser un complemento de la animación, para comprender mejor la base teórica que se encuentra detrás de ella. También fue, en parte, el aspecto del guión que escribí cuando estaba planeando el proyecto.

Cero, una y dos dimensiones

La animación comienza presentando tres figuras geométricas, los tres polígonos regulares más simples: un triángulo equilátero, seguido de un cuadrado y finalmente un hexágono. Pero lo hace de una manera muy especial. Veámoslo en detalle:

Para empezar, lo primero que aparece en la pantalla es un punto, una de las "entidades fundamentales de la geometría", junto con la línea y el plano. Una figura geométrica sin dimensión, longitud, área o volumen. La unidad mínima de comunicación visual.

Ese punto se convierte en una línea recta, nuestra segunda entidad fundamental, con una sola dimensión y un número infinito de puntos.

Y finalmente, en esa línea definimos un segmento que, por medio de dos giros centrados en sus extremos, nos permite obtener un triángulo equilátero; El polígono regular más simple, con el cual (como con cualquier triángulo) ya hemos definido nuestra tercera entidad fundamental: el plano, con dos dimensiones. Aviso: en estos primeros segundos hemos pasado de menos a más: aumentando de 0 a 1 y luego a 2 dimensiones ;-)

La forma particular de transformar el triángulo equilátero en un cuadrado y luego un hexágono no es un capricho. Necesitaba dejar en claro que estos tres polígonos regulares particulares tienen la misma área. Quédese con este detalle: los tres son polígonos de igual superficie.

Disecciones con bisagras

Una forma de representar visualmente la igualdad de áreas entre los tres polígonos es cortarlos por unas pocas líneas y recomponer las piezas para convertir una en otra. Y para hacerlo más elegante, hágalo de tal manera que todas las partes estén siempre en contacto. Es lo que se conoce como "disección articulada" o "disección de Dudeney". Una disección geométrica en la que todas las piezas se unen en una cadena por puntos "articulados", de modo que la conversión de una figura en otra se puede llevar a cabo girando la cadena. continuamente, sin cortar ninguna de las conexiones y sin dejar pequeños agujeros entre las partes.

El siguiente gif animado es de Wikipedia (Autor: Rodrigo Silveira Camargo) y fue de gran ayuda para comprender y diseñar esta sección de animación:

La transformación entre un triángulo equilátero y un cuadrado es relativamente conocida, ya que ha sido ampliamente utilizada como un rompecabezas matemático en muchos libros de pasatiempos desde que el matemático Henry Dudeney la popularizó a principios del siglo XX.

Curiosamente, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien, probado por primera vez en 1807, establece que dos polígonos de la misma área siempre tendrán una disección común. Sin embargo, la cuestión de si dos de estos polígonos también deberían compartir una disección articulada permaneció abierta hasta hace relativamente poco, en 2007, cuando Erik Demaine y otros colegas demostraron que dicha disección articulada siempre debe existir, y proporcionaron un algoritmo constructivo para producirlos. Aquí está el PDF donde aparece esa demostración.

El embaldosado hexagonal es especial

Bueno. Pero, ¿por qué es tan importante, en esta animación, dejar en claro visualmente que los tres polígonos tienen la misma superficie? Porque inmediatamente después veremos cómo de estas tres figuras, al desplegar en línea recta cada uno de sus contornos, el que tiene un perímetro más pequeño es el hexágono.

En el siguiente diagrama, que aparece en la animación, vemos cuál es la diferencia. Partimos de la premisa de que, por diseño, el área es idéntica en las tres figuras. Digamos que es exactamente 1. No importa si 1 cm cuadrado, 1 mo 1 km cuadrado ...

Para calcular el perímetro del triángulo equilátero podemos usar la fórmula de Heron que nos permite obtener el área de cualquier triángulo al conocer sus lados. Aquí no conocemos los lados, pero sí conocemos el área, por lo que son matemáticas simples. También hay una fórmula para calcular el área de un hexágono al conocer su lado. Al aplicarlo inversamente, dado que conocemos el área, podemos calcular el perímetro final.

¿Y qué implica esto?

Hay polígonos regulares infinitos (polígonos cuyos lados y ángulos interiores son iguales), comenzando con el triángulo equilátero, con solo tres lados, siguiendo con el cuadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octágono ... hasta terminar con una circunferencia, que podríamos definir como un polígono regular de lados infinitos.

Pero de todos los polígonos regulares, solo hay tres con los que puede teselar el plano usando la misma pieza: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono (si usamos combinaciones de dos o más polígonos regulares, tenemos muchas más posibilidades).

Y de esas tres alternativas, la hexagonal es la más compacta. Por ejemplo: si dividiéramos los campos en parcelas cultivadas iguales separadas por muros de piedra, la forma óptima (gastar la cantidad mínima de piedras) sería la teselación hexagonal. Si no se usa en la vida real probablemente se deba a que el cuadrado / rectangular es mucho más fácil de rastrear, incluso si gasta algunas piedras más ;-)

Esto también se conoce como la "conjetura del panal" (PDF) que establece que esta teselación es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el perímetro total mínimo. Una conjetura que se conoce desde la antigüedad, pero que no se probó hasta finales del siglo XX, en 1999 (!)

Finalmente, la tercera dimensión: un panal. Y una abeja

En este punto, eso es lo que vemos a continuación en nuestra animación: cómo se extruyen los hexágonos de teselación para construir un panal. Además, mira, ya hemos alcanzado la tercera dimensión, por lo que nuestra cámara gira para ver todo en perspectiva.

Las abejas, que no tienen pelo de tontos, saben que con este tipo de envases logran crear una estructura con la relación óptima entre el volumen dedicado a las cavidades y la cera necesaria para construir sus paredes. No entraremos en más detalles aquí, pero la forma exacta de las celdas de un panal plantea otras curiosidades geométricas.

Una vez que se ha construido nuestro panal, aparece una abeja obrera, que se da cuenta de que hay una celda vacía, sin miel, y decide salir a trabajar para resolverlo ;-)

Y mientras tanto, pasamos a la siguiente sección de animación.

Patrones decorativos islámicos. Alhambra

El panal tridimensional se simplifica hasta que nuevamente alcanza una teselación hexagonal plana. Y a partir de ahí, a través de una sucesión de operaciones geométricas, obtendremos una teselación decorativa mucho más compleja. En el siguiente gif animado puedes ver en detalle la sucesión de pasos para llegar allí.

Le recomiendo que eche un vistazo al sitio web Tilingsearch.org, que contiene una multitud de diagramas muy detallados (incluidos PDF) que muestran la construcción de muchas otras teselaciones típicas del arte islámico. Aquí está la revisión de la que utilizamos en nuestra animación, que se encuentra en el Salón de los Reyes de la Alhambra de Granada.

aquí, a la izquierda, puedes ver la página de un libro que sirvió de base para su construcción geométrica. La fuente de esta imagen es otro sitio interesante dedicado a los revestimientos decorativos: PatternsInIslamicArt.com (No de catálogo PIA 060)

Y, por supuesto, es al Salón de los Reyes donde llegamos en la siguiente toma y desde allí salimos a la famosa Corte de los Leones.

Desde hace muchos años visité Granada por primera vez y descubrí su mayor joya, la Alhambra, siempre quise incluirla en algunos de mis proyectos personales. Este espectacular grupo de palacios y jardines encerrados en una fortaleza, que a veces se convirtió en una ciudad dentro de Granada y que fue construida durante varios siglos, siempre me ha parecido una obra hermosa, casi abrumadora. No puedo tener suficiente de visitar esta joya, una y otra vez.

Y esta me pareció la ocasión perfecta, ya que no solo es la obra maestra del arte de Al-Andalus, también es uno de los mejores lugares del mundo para disfrutar de la decoración islámica a través de patrones geométricos en sus mosaicos, azulejos y estucos. No en vano es la segunda atracción turística en España, solo superada por la Sagrada Familia de Gaudí.

Alcazaba, Alhambra, Granada, España. Fuente: Wikipedia. Autor: Jebulon

A medida que la cámara se mueve a través de la Corte de los Leones, me he permitido la licencia para incluir un elemento poco probable (una pequeña licencia artística, si lo prefiere): una flor que aparece en las rendijas formadas por las losas de mármol blanco, justo al lado de una de las canaletas de agua.

Aquí viene de nuevo el ángulo dorado

A medida que nos acercamos, la flor crece y se abre, para descubrir que es una margarita. Y el disco central de esta flor, presenta una estructura amarilla muy característica, una inflorescencia con una distribución que sigue el mismo patrón geométrico que las semillas del girasol, basada en el ángulo dorado (137.507º). En la sección "Los conceptos detrás de ..." de mi trabajo Nature by Numbers encontrará detalles sobre cómo se forma esta estructura interesante.

Y aquí tenemos nuevamente a nuestra abeja obrera que viene a buscar su materia prima en la margarita, para poder llenar la celda vacía de su panal.

Los ojos de las abejas

Pero en esta segunda ocasión, la cámara se acerca mucho a uno de los ojos de la abeja (sí, también es un guiño al final de Nature by Numbers) para descubrir que están compuestos de múltiples estructuras, el ommatidio distribuido de acuerdo con un patrón hexagonal (imagen con ojo compuesto a la derecha creada por Kils, de Wikimedia)

Como curiosidad, cada ommatidio proyecta su propia imagen. Las abejas no tripuladas tienen alrededor de 8000 ommatidium (porque deben tener buena vista para poder localizar a la reina), los trabajadores alrededor de 5000 y la reina alrededor de 4000 (porque solo saldrán cuatro o seis veces del nido en su vida).

Además, las abejas también tienen tres pequeños ojos simples (ocelos) en la parte superior de sus cabezas, que se utilizan para la visión a distancia y para percibir mejor la intensidad de la luz. Por cierto: las abejas distinguen el azul, el amarillo y el blanco, pero no pueden ver el rojo.

De los átomos al ADN. La base de la vida

Una vez que esta superficie hexagonal (el ojo enormemente agrandado de la abeja) llena nuestra pantalla, sirve como soporte para generar las moléculas estructurales de cuatro moléculas que son fundamentales para la vida: las bases nitrogenadas Adenina, Guanina, Citosina y Timina, que periódicamente son simplificado a sus iniciales AGCT. Los siguientes gráficos son de Wikipedia, autor Vesprcom:

Todos ellos tienen un hexágono en su fórmula estructural. Y todos comparten y están unidos por átomos:

Carbono, en gris oscuro y sin letra en la animación (como suele hacerse en notación química)

Nitrógeno, en azul y con la letra (N)

Hidrógeno, en blanco y con la letra (H)

Además, la guanina, la citosina y la timina también contienen átomos de oxígeno, en rojo y con la letra (O)

En la animación puede ver cómo, una vez formadas, estas cuatro nucleobases comienzan a vincularse. Pero no lo hacen de manera arbitraria: la adenina (A) siempre se conecta con la timina (T) y, por otro lado, la guanina (G) siempre se conecta con la citosina (C). Por lo tanto, los enlaces siempre son AT / TA o GC / CG.

Y esta sucesión de enlaces entre pares, a los que también se agregan otras moléculas como azúcares y fosfatos, es lo que termina formando la estructura muy famosa del ADN, con su característica forma de doble hélice, que contiene las instrucciones genéticas utilizadas en el desarrollo y funcionamiento de todos los seres vivos y se encarga de la transmisión hereditaria.

Doble hélice: del ADN a la escalera Bramante

La animación avanza. Con la gran molécula de ADN ya perfectamente formada, se dibujan varias líneas helicoidales a su alrededor. Estas líneas de luz se expanden y de ellas comienza a desarrollarse una construcción algo misteriosa. Varios pasos y relieves complejos con motivos ornamentales (ángeles, águilas y ornamentos vegetales), todos con un aspecto metálico y reflectante, se originan y conectan en él.

Finalmente, desde un punto de vista cenital, vemos cómo se matiza el acabado metálico y terminamos apreciando la estructura de una de las obras arquitectónicas más fotografiadas por los turistas en Roma: la moderna escalera de Bramante en los Museos Vaticanos, con su balaustrada ricamente ornamentada en bronce Una de las pocas escaleras de doble hélice del mundo, que da lugar a perspectivas con líneas curvas muy sugerentes.

Escalera Bramante (moderna), Museos Vaticanos, Estado de la Ciudad del Vaticano. Fuente: Wikipedia. Autor: Colin / Wikimedia Commons

Aunque no es la pieza de construcción original: es un diseño relativamente moderno, de 1932, realizado por Giuseppe Momo e inspirado en el diseñado por Donato Bramante en 1512, para que el Papa Julio II pudiera ingresar a su residencia privada sin abandonar su carruaje. En esta otra versión moderna, el propósito inicial de la doble hélice era hacer posible que los visitantes subieran y bajaran sin cruzarse. Aunque en este momento me temo que solo se usa en una dirección, entonces parte de la intención original se ha perdido ...

Doble hélice: de la escalera Bramante a la palmera

Una vez que atravesamos esta rampa de escalera de doble hélice, la cámara gira alrededor del pedestal vertical en su base, con una gran copa de mármol en la parte superior. De ella salen varios rayos de luz y se forma una especie de rejilla circular que recuerda a un radar. Un gráfico en el que comienzan a aparecer varias "partículas" esféricas, una tras otra.

Con cada giro de 137.5º (nuevamente el ángulo dorado) aparece una nueva partícula, pero esta vez, a diferencia de lo que sucedió en el girasol de la naturaleza por números o en la margarita de la Alhambra, estas partículas se compactan para crear una forma cilíndrica, no un disco Las partículas se transforman en una especie de escamas aplanadas y el cilindro crece en altura.

En un momento dado, varias curvas helicoidales emergen de la balaustrada de la escalera que sube hacia el centro mientras la arquitectura misma se desmorona y desaparece. Y sugieren cómo, al adaptarse sobre el cilindro central en crecimiento, las escamas de su superficie (conformadas, recordemos, por medio de una distribución dorada) también presentan una disposición helicoidal en espiral. Realmente con espirales en dos sentidos, aunque ese detalle no aparece en la animación: ¡demasiadas cosas para mostrar en tan poco tiempo!

Este cilindro grande que ha crecido en el centro de nuestro espacio es efectivamente el tronco de una palmera. Y finalmente vemos cómo aparecen sus enormes hojas en esa distribución tan característica de estas grandes plantas.

De hecho, las "escamas" que percibimos en la superficie del tronco de una palmera no son más que sus viejas "ramas" (realmente hojas) que ya han caído o han sido cortadas.

Hablando de palmeras: King’s College Chapel tiene la bóveda de palmeras más grande

Luego, las hojas grandes de nuestra palmera se pliegan nuevamente y se generan las líneas de una superficie muy similar a un hiperboloide truncado. De hecho, no es, estrictamente hablando, un hiperboloide, ya que esta figura es una superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola, que no es exactamente el caso aquí, como veremos.

Lo que tenemos aquí es la base constructiva de una gran obra arquitectónica nueva: la Capilla del King's College en Cambridge. Este fantástico edificio, terminado a principios del siglo XVI, tiene la bóveda de abanico más grande del mundo, también llamada bóveda de palmas, construida entre 1512 y 1515 por el maestro albañil John Wastell. Sus impresionantes vidrieras (12 en cada lado y dos incluso más grandes en ambos extremos) fueron hechas principalmente por artesanos flamencos entre 1515 y 1531.

Esta capilla es uno de los principales ejemplos de arquitectura Tudor, en el tramo final de la arquitectura medieval inglesa, en un período que incluyó la Guerra de las Rosas.

King’s College Chapel, Cambridge, Reino Unido. Fuente: Wikipedia. Autor: Dmitry Tonkonog

Arcos de cuatro centros y también dorados ojivales. Y una rosa

Uno de los elementos más característicos de este estilo arquitectónico es su arco centrado en cuatro (conocido precisamente como el "Arco Tudor" fuera de Inglaterra).

En el siguiente gif animado vemos cómo se construyen los arcos de la gran puerta oeste utilizando este tipo de arcos de cuatro puntos. En mi investigación preliminar también llegué a un feliz descubrimiento: como pueden ver, para obtener este diagrama comenzamos ... ¡desde un hexágono! Existen diferentes procedimientos geométricos para encontrar los centros de un arco de cuatro puntos (dependiendo de sus proporciones finales). No puedo afirmar categóricamente que este método que se muestra aquí es el realmente utilizado por los constructores originales, pero ciertamente se ajusta muy bien a las referencias:

Para las doce ventanas laterales, en cambio, se usaron arcos apuntados (también llamados ojivales), formados por dos secciones de arcos circunferenciales que forman un ángulo en la piedra angular. Y en este caso, me pareció muy probable que para su construcción se basara en un rectángulo dorado, como se puede ver en el siguiente gif:

Después de un breve recorrido por el interior de la capilla, nos acercamos a la parte superior de la bóveda con uno de los elementos ornamentales que se repite en todo el interior: una gran rosa de piedra (símbolo de las dos grandes dinastías que intervinieron en la Guerra de las Rosas, la casa de Lancaster, con una rosa roja, y la casa de York, con una rosa blanca).

En el último momento en que se abre la rosa, vamos a mostrar una estructura geométrica en su botón central, algo comienza a emerger y luego ... se desvanece a negro. Fin.

Un misterio: ¿curvas catenarias? De Verdad? ¿Dónde?

Arcos catenarios en la Casa Milà de Gaudí, Barcelona, ​​España. Fuente: Wikipedia. Autor: Matthias Ott

Finalmente, quiero hacer una confesión: cuando estaba planeando este proyecto, mi idea era incluir un edificio que hiciera uso de curvas catenarias. La opción más lógica u obvia podría haber sido utilizar una de las muchas obras de Gaudí, ya que fue uno de los máximos exponentes del uso de este tipo de curvas en la arquitectura. Pero ... digamos que la tarjeta de Gaudí está reservada "para otra ocasión" ;-)

Entonces, buscando otros ejemplos en la red, encontré varias referencias a este otro trabajo, la Capilla de King's College, como muestra del uso de este tipo de curvas, las catenarias. Por ejemplo:

En el artículo de Wikipedia sobre el uso de la catenaria en la arquitectura (ver primer ejemplo de "Catedrales e Iglesias"),

En la página 17 del libro "Observaciones sobre la construcción del techo de King's College Chapel, Cambridge"

En este video "La Catenaria - Matemáticas a nuestro alrededor" del minuto 3:10

¡Así que genial, lo encontré! Me encantó el edificio e iba a ser un maravilloso ejemplo del uso de la catenaria en la arquitectura, ¡perfecto para cerrar la animación como había planeado!

Pero cuando llegó el momento de la verdad, después de descargar abundante documentación, fotos, dibujos, escáneres de varios libros, etc., lo primero que hice fue mirar exactamente dónde aparecían ese tipo de curvas en este edificio. Se supone que está en la bóveda, ya que las catenarias se caracterizan precisamente por generar un tipo de arcos extremadamente resistentes.

Incluso imprimí varias elevaciones, desde diferentes ángulos, las invertí y usé una pequeña cadena para tratar de encontrar dónde demonios estaban las catenarias.

Pero no importa cuánto haya buscado, no pude encontrar una sola curva o arco que me recordara a una catenaria, en cualquier sitio (!?)

Todo esto me recordó la historia de la espiral dorada como base para el desarrollo de la concha de un nautilus, una anécdota que explico en la sección "Los conceptos detrás de ..." de mi antiguo trabajo Nature by Numbers. En esa ocasión, a pesar de verificar que la espiral de un nautilus NO es realmente una espiral dorada, decidí dejarla como está (como se afirma, erróneamente, en innumerables artículos e informes en Internet) y disculparme con el pretexto de la "licencia artística".

Pero aquí, en este nuevo trabajo, no quería que volviera a ocurrir lo mismo. Basta de "licencias artísticas" forzadas ...

Entonces, continuando con mi investigación, entré en contacto con una firma de arquitectos de la que había encontrado una publicación en PDF que describía una visita que sus trabajadores habían hecho a Inglaterra para estudiar este tipo de trabajo (King’s College Chapel y otros). Después de una primera presentación, les envié varios documentos y gráficos y les hice todas mis preguntas y dudas. Básicamente, ¿dónde se encontraron esas curvas catenarias específicamente en las elevaciones o secciones de este edificio? Agregar este tipo de gráfico adjunto:

Debo decir que me han tratado maravillosamente. por esos profesionales. Y finalmente reconocieron que, "tal vez", la catenaria no se había utilizado para diseñar los arcos de la bóveda de esta obra, al contrario de lo que se afirma en varios lugares ...

Entonces, finalmente desistí de presentar el tema de la catenaria. A pesar de todo, siempre mantendré la duda. Si algún experto lee esto y puede confirmarme de una forma u otra, se lo agradeceré. Pero no es suficiente para mí una declaración simple como "por supuesto que se usaron las catenarias, lo sé". Necesito ver un diagrama inteligente, algo que los constructores originales puedan usar plausiblemente con las técnicas y el conocimiento de ese siglo XV. Y decir que "una parte de los arcos de las bóvedas podría corresponder a una parte de una curva de catenaria ..." eso no me parece un argumento serio.

De todos modos, finalmente descubrí que la sección de la bóveda principal, aunque no respondía a un diseño basado en curvas de catenaria, lo hacía a uno basado en los arcos de cuatro centros. Y además, ¡oh, sorpresa, encaja perfectamente con un diseño basado en hexágono! Lo que en realidad encajaba mejor con el resto del cortometraje. Y, por otro lado, los arcos apuntados para las ventanas coincidían con un diagrama basado en el rectángulo dorado. Grité "eureka" cuando encontré estas dos coincidencias, después de mi investigación.

Así que finalmente no tuve que renunciar a la inclusión de este edificio singular en mi proyecto, a pesar de que no encontré las curvas de catenaria en su construcción.